Несобственные интегралы первого рода

         Определение 4.1   Предположим, что функция $ f(x)$ задана на бесконечном промежутке вида >$ [a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке $ [a;b]$ , где $ b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел $ I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

http://xn----jtbokebcckdlay.net/

$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

а сам интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

Если же предела $ \lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $ \Phi(b)\to\infty$ при $ b\to+\infty$ ), то интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае $ {f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $ \mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом

$\displaystyle \Psi(a)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел

$\displaystyle I=\lim_{a\to-\infty}\Psi(a),$

то число $ I$ называется значением несобственного интеграла первого рода

$\displaystyle I=\int_{-\infty}^bf(x)\;dx,$

а сам интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела $ \lim\limits_{a\to-\infty}\Psi(a)$ не существует, то интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции $ f(x)$ , вычисление несобственного интеграла $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ означает нахождение площади бесконечно длинной области $ \mathcal{D}$ , лежащей между осью $ Ox$ и графиком $ y=f(x)$ , левее вертикальной линии $ x=b$ . Условие $ a\to-\infty$ означает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию $ x=a$ , временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).

Рис.4.5.



В интегралах $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ и $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ знаки $ +\infty$ и $ -\infty$ называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением ($ b$  или $ a$ ), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку $ [a;b]$ , а затем устремить в бесконечность конечный предел $ b$ или $ a$ .

Очевидно, что при изменении направления на оси $ Ox$ , то есть при замене $ t=-x$ , интеграл $ \int\limits_a^bf(x)\;dx$ переходит в равный ему интеграл $ \int\limits_{-b}^{-a}f(-t)\;dt$ и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ переходит в равный ему интеграл $ \int\limits_{-b}^{+\infty}f(-t)\;dt$ . Таким образом, все свойства интегралов по промежутку $ (-\infty;b]$ повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку $ [a;+\infty)$ , изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ .

Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.

        Определение 4.3   Пусть функция $ f(x)$ определена при всех $ x\in\mathbb{R}$ и интегрируема на любом отрезке $ [a;b]\sbs\mathbb{R}$ . Возьмём произвольное значение $ c\in\mathbb{R}$ (например, $ c=0$ ) и будем считать по определению несобственный интеграл

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$

равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам $ (-\infty;c]$ и $ [c;+\infty)$ , то есть

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=
\int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+
\int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx.$

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл $ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).     

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции $ {f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}}$ ; эта площадь оказалась равной числу $ \pi$ .

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки $ c$ , то есть при выборе двух разных точек $ c$  и $ c_1$ определение даёт одно и то же, поскольку

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_{-\infty}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{+\infty}f(x)\;dx.$(4.1)

Действительно, пусть $ c<c_1$ . Тогда, при любых конечных $ a<c$ и $ b>c_1$ мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{b}f(x)\;dx=
\int\limits...
..._{c_1}^bf(x)\;dx=
\int\limits_{a}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{b}f(x)\;dx.$

Переходя теперь два раза к пределу, сначала при $ b\to+\infty$ , а потом при $ a\to-\infty$ , получаем доказываемую формулу (4.1).

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, будем записывать в виде такого неравенства:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx<\infty,$

а то, что интеграл расходится -- в виде условной записи

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$

(даже если функция $ \Phi(b)=\int\limits_a^{b}f(x)\;dx$ не стремится к $ \infty$ при $ b\to+\infty$ ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда $ f(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in[a;+\infty)$ ; тогда "равенство" $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$ отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь.

Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида $ (-\infty;b]$ и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).

Решение произвольных систем линейных уравнений.

  Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

 Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

 

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

 Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

 Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

 Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =  называется матрицей системы, а матрица

А*=  называется расширенной матрицей системы

 Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем.

 К элементарным преобразованиям относятся:

 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

 2)Перестановка уравнений местами.

  3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).