Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Рассмотрим функцию $ f(x)$ и такой промежуток $ J\sbs\mathbb{R}$ , на котором $ f(x)$ имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы11, а также в $ -\infty$ и $ +\infty$ , если они являются концами рассматриваемого промежутка $ J$ .

Итак, пусть $ f(x)$ имеет особенности в $ c_1,\ c_2,\ \dots,\ c_n$ , где, возможно, $ c_1=-\infty$ и $ c_n=+\infty$ , а все оставшиеся $ c_i$  -- точки оси $ Ox$ . Точки $ c_i$ разбивают промежуток $ J$ на части -- интервалы $ (c_{i-1};c_i)$ , где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку $ [c';c'']\sbs(c_{i-1};c_i)$ . Если промежуток $ J$  -- это отрезок $ [a;b]$ и в точках $ a$ и $ b$ функция не имеет особенностей, то к интервалам $ (c_{i-1};c_i)$ добавляются ещё полуинтервалы $ [a;c_1)$ и $ (c_n;b]$ с особенностями только в точках $ c_1$ и $ c_n$ . Выберем в каждом из интервалов $ (c_{i-1};c_i)$ по точке $ d_i$ . Тогда на полуинтервалах $ (c_{i-1};d_i]$ и $ [d_i;c_i)$ функция $ f(x)$ имеет ровно по одной особенности -- в точке $ c_{i-1}$ или $ c_i$ соответственно. Присоединим, если нужно, к этим полуинтервалам ещё и $ [a;c_1)$ и $ (c_n;b]$ , то есть будем считать в этом случае $ d_1=a$ и $ d_{n+1}=b$ .

        Определение 4.9   При описанных выше условиях на функцию $ f(x)$ и выбор точек $ d_i$ будем считать несобственный интеграл от $ f(x)$ по промежутку $ J$ равным сумме несобственных интегралов по каждому из упоминавшихся выше полуинтервалов $ (c_{i-1};d_i]$ и $ [d_i;c_i)$ , при условии, что все эти интегралы сходятся:

$\displaystyle \int_Jf(x)\;dx=\sum_i\Bigl(
\int_{c_{i-1}}^{d_i}f(x)\;dx+
\int_{d_i}^{c_i}f(x)\;dx\Bigr).$

Если же хотя бы одно из этих слагаемых представляет собою расходящийся интеграл, то интеграл $ \int_Jf(x)\;dx$ считается расходящимся.     

Заметим, что мы уже давали аналогичное определение в случае, когда $ J=(-\infty;+\infty)$ и этот интервал разбивается точкой деления $ d=d_1$ на две части, то есть особенности имеются только в $ -\infty$ и $ +\infty$ ( определение 4.3). Вслед за тем мы проверили, что величина интеграла при определении 4.3 не зависит от выбора точки деления $ d$ . Аналогичный результат верен и для общего определения 4.9. Доказывается он точно так же, на основе свойства аддитивности определённого интеграла, поэтому мы опускаем доказательство.

        Пример 4.16   Рассмотрим интеграл

$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}.$

На промежутке интегрирования $ J=[-1;1]$ функция $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ имеет особенность в точке $ x=0$ , поскольку $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0$ . Точка $ c=0$ разбивает $ J$ на две части: $ [-1;0)$ и $ (0;1]$ , причём у каждого из этих полуинтервалов лишь один конец (а именно, 0) соответствует особенности функции. Согласно определению, нужно положить

$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\int_{-1}^0\frac{dx}{x^2}+\int_0^1\frac{dx}{x^2},$

причём нужно проверить сходимость интегралов в правой части. Имеем:

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2}=Y(2)=\infty$

(см. выше, пример 4.9). Поскольку этот интеграл расходится, то расходится и данный интеграл $ \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ , и проверять сходимость слагаемого $ \int_{-1}^0\frac{dx}{x^2}$ уже нет нужды (на самом деле он тоже расходится).

Заметим, что было бы абсолютно неверно "не заметить" особенность функции в точке 0 и необоснованно применить формулу Ньютона - Лейбница, которая верна только для непрерывных подынтегральных функций:

$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}\Bigl\vert _{-1}^1=
-\frac{1}{1}-(-\frac{1}{-1})=-2.$

Рис.4.10.



Мало того, что получился абсурдный результат: интеграл от положительной функции $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ оказался отрицательным, так ещё при таком "способе" счёта мы упустили, что на самом деле площадь под графиком $ y=\frac{1}{x^2}$ бесконечна.     

        Пример 4.17   Рассмотрим интеграл

$\displaystyle \int_{-2}^2\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}.$

На отрезке $ [-2;2]$ функция имеет две особенности -- в точках $ -1$ и 1. Поэтому нужно взять ещё точку на интервале между особенностями (возьмём 0 для симметричности), и отрезок разбивается на четыре части: $ [-2;-1)$ , $ (-1;0]$ , $ [0;1)$ и $ (1;2]$ . Интегралы по этим отрезкам -- это несобственные интегралы второго рода, причём в силу чётности подынтегральной функции нам достаточно найти лишь $ \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}$ и $ \int_1^2\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}$ , а остальные два будут иметь те же значения:

$\displaystyle \int_{-1}^0\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}$

и

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}=\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}.$

Заметим, что на промежутке $ [0;1)$ $ \vert x^2-1\vert=1-x^2$ , а на промежутке $ (1;2]$ $ \vert x^2-1\vert=x^2-1$ , так что

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

и

$\displaystyle \int_1^2\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}=\int_1^2\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}.$

Первый из этих интегралов мы уже вычислили в примере 4.8:

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi}{2}.$

Вычислим второй:

$\displaystyle \int_1^2\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2-1}\vert\Bigr\vert _1^2=
\ln(2+\sqrt{3})-\ln1=\ln(2+\sqrt{3}).$

Итак,

$\displaystyle \int_{-2}^2\frac{dx}{\sqrt{\vert x^2-1\vert}}=
\ln(2+\sqrt{3})+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+\ln(2+\sqrt{3})=\pi+2\ln(2+\sqrt{3}).
$
Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).

Элементы векторной алгебры.

 Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

 Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

  Определение . Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

 Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

 Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

 Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

 Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

 Суммой векторов является вектор -

 Произведение - , при этом  коллинеарен .

Вектор  сонаправлен с вектором ( ­­), если a > 0.

Вектор  противоположно направлен с вектором (­¯), если a < 0.

Свойства векторов.

 1)  + = +  - коммутативность.

 2)  + (+ ) = ( + )+

 3)  +  =  

 4)  +(-1) =

 5) (a×b) = a(b) – ассоциативность

  6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

 7) a( + ) = a + a

 8) 1× =  

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

 Определение. Если  - базис в пространстве и  , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора  в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

равные векторы имеют одинаковые координаты,

при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

;

  + =