Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями $ S_i$ прямоугольников, основанием которых служит отрезок $ [x_{i-1};x_i]$ на оси $ Ox$ , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке $ x_{i-1}$ , либо в точке $ x_i$ . Тогда в первом случае площадь $ S_i$ равняется $ f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , а во втором $ S_i=f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по $ i$ от $ i=1$ до $ i=n$ , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

Аналитическая геометрия Геометрическая интерпретация комплексных чисел

$\displaystyle I\approx I_l=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})(x_i-x_{i-1}),$

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

$\displaystyle I\approx I_r=\sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Рис.5.2.



Из приведённого чертежа ясно, что ошибки $ {\varepsilon}_l=I-I_l$ и $ {\varepsilon}_r=I-I_r$ , которые возникают при замене точного значения интеграла $ I$ на его приближённое значение $ I_l$ или $ I_r$ соответственно, обладают такими свойствами:

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l>0$ , поскольку $ I>I_l$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l<0$ , поскольку $ I<I_l$ ;

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r<0$ , поскольку $ I<I_r$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r>0$ , поскольку $ I>I_r$ .

Таким образом, в случае монотонной функции $ f$ ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел $ I_l$ и $ I_r$ за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_{rl}=\frac{1}{2}(I_l+I_r)=
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для $ I_l$ и $ I_r$ , из которых она возникла, на практике при=меняются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Гораздо большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.

Линейные операции над векторами в координатах.

 Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

 тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Скалярное произведение векторов.

 Определение. Скалярным произведением векторов   и  называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ïïïïcosj

 Свойства скалярного произведения:

× = ïï2;

× = 0, если ^ или = 0 или  = 0.

× = ×;

×(+) = ×+ ×;

(m)× = ×(m) = m(×); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = xa xb + ya yb + za zb;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если

10×- 5×+ 6×- 3× = 10,

 т.к. .

 Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

×= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

 Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2)×(5 - 6), если

15×- 18×- 10×+ 12× = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

 Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е.  = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

×= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

 Пример. При каком m векторы  и  перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).