Квадратурная формула трапеций

Пусть снова взято разбиение отрезка $ [a;b]$ на части $ [x_{i-1};x_i]$ , $ i=1,\dots,n$ . Приближённо заменим площадь под графиком $ y=f(x)$ , лежащую над промежутком разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть $ f(x_{i-1})$ и $ f(x_i)$ (см. рис.).

Рис.5.5.

Привести к общему знаменателю дроби Перейдём теперь к изучению преобразований рациональных выражений Умножение. Произведение двух рациональных дробей находится по следующей формуле: Другими словами, для того, чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и результат разделить на произведение знаменателей.

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

$\displaystyle S_i=\frac{1}{2}(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Суммируя все площади $ S_i$ , получаем квадратурную формулу трапеций:

$\displaystyle I\approx I_T=
\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через $ I_{rl}$ .

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции $ S_i$ достаточно вычислить значение функции $ f$ лишь в одной новой точке -- в правом конце $ x_i$ очередного промежутка $ [x_{i-1};x_i]$ , поскольку точка $ x_{i-1}$ была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то формула трапеций приобретает вид

$\displaystyle I\approx I_T=
\frac{h}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i)).$

Все значения функции $ f(x_i)$ , кроме $ f(x_0)=f(a)$ и $ f(x_n)=f(b)$ , встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

$\displaystyle I\approx I_T=
\frac{h}{2}\Bigl(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\Bigr)=
\frac{h}{2}(f(a)+f(b))+h\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i),$

где $ x_i=a+ih$ , $ i=1,\dots,n-1$ .

Пусть функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$ , сохраняющую знак на интервале $ (a;b)$ . Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки $ {\varepsilon}_T=I-I_T$ этой квадратурной формулы таков: если $ f''(x)<0$ , то есть если график $ y=f(x)$ является выпуклым кверху, то $ I>I_T$ и, значит, $ {\varepsilon}_T>0$ ; если же $ f''(x)>0$ и график имеет выпуклость книзу, то $ I<I_T$ и $ {\varepsilon}_T<0$ .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки $ {\varepsilon}_R$ формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибок $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ противоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибки $ {\varepsilon}_T$ и $ {\varepsilon}_R$ в зависимости от выбора шага $ h$ . Эти оценки ошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.

Смешанное произведение векторов.

 Определение. Смешанным произведением векторов ,  и  называется число, равное скалярному произведению вектора  на вектор, равный векторному произведению векторов   и .

 Обозначается или (, ,).

Смешанное произведение  по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ,  и .

Свойства смешанного произведения:

 1)Смешанное произведение равно нулю, если:

 а) хоть один из векторов равен нулю;

  б) два из векторов коллинеарны;

 в) векторы компланарны.

 2)

 3)

 4)

 5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами ,  и , равен

  6)Если , , то

 Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

 Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

Sосн = (ед2)

Т.к. V = (ед)

Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).