Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

В полученные нами формулы оценки ошибки квадратурной формулы входят величины $ M_k$ , ограничивающие абсолютную величину производной порядка $ k$ от подынтегральной функции ($ k=2$ для формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$ для формулы Симпсона, $ k=6$ и $ k=8$ для формулы Уэддля). Если величина $ M_k$ неизвестна (а как правило, в достаточно сложных задачах не вычисление интегралов она неизвестна или получить её весьма нелегко), то пользоваться этими оценками для определения величины ошибки конкретного вычисления невозможно. Так что всё, что дают нам формулы оценки ошибки -- это порядок квадратурных формул. Однако на этом основании можно получить следующее практическое правило, которое позволяет получить оценку ошибки конкретного вычисления, если квадратурную формулу применить два раза с разными шагами $ h$ .

А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности $ k$ ($ {k=2}$  -- порядок формул центральных прямоугольников и трапеций, $ k=4$  -- формулы Симпсона, $ k=6$  -- формулы Уэддля), то соответствующая шагу $ h$ погрешность $ {\varepsilon}_h$ имеет оценку $ Ch^k$ , где $ C$  -- некоторая постоянная, не зависящая от $ h$ . Таким образом, при малых $ h$ , то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения $ n$ , будет

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение  (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

$\displaystyle {\varepsilon}_h\approx Ch^k$ и $\displaystyle {\varepsilon}_{\frac{h}{2}}\approx C\frac{h^k}{2^k}\approx\frac{1}{2^k}{\varepsilon}_h.$

Следовательно, если $ I_h=I-{\varepsilon}_h$  -- приближённое значение интеграла, точное значение которого равно $ I$ , то

$\displaystyle I-I_h\approx Ch^k;\
I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{1}{2^k}Ch^k\approx\frac{1}{2^k}(I-I_h).$

Отсюда получаем, что

$\displaystyle I_{\frac{h}{2}}-I_h\approx\frac{1}{2^k}Ch^k(2^k-1)$

и

$\displaystyle I-I_{\frac{h}{2}}\approx\frac{I_{\frac{h}{2}}-I_h}{2^k-1}.$(5.5)

Таким образом, проведя вычисления по данной квадратурной формуле с некоторым шагом $ h=\frac{b-a}{n}$ , а затем удвоив число отрезков деления и проведя вычисления по той же формуле с шагом $ \frac{h}{2}$ , мы получим приближённые значения $ I_h$ и $ I_{\frac{h}{2}}$ и сможем, применив формулу (5.5), вычислить текущую погрешность, то есть оценку отклонения истинного значения интеграла от последнего из вычисленных приближённых значений (полученного с шагом $ \frac{h}{2}$ ).

На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

 Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

:

 Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

 На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х1 ¹ х2 и х = х1, еслих1 = х2.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

 Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

:-8;margin-left:247px; margin-top:14px;width:116px;height:52px'>

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

 По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

 Определение. Каждый ненулевой вектор (a1, a2), компоненты которого удовлетворяют условию Аa1 + Вa2 = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.


Приложения интеграла: длина дуги кривой Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем  непрерывны на . Пусть  имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки. Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).