Пределы функций нескольких переменных

Для того чтобы дать определение предела функции нескольких переменных, нужно напомнить общее определение базы предела и предела функции по данной базе. Пусть функция $ f(x)$ имеет область определения $ \mathcal{D}(f)\sbs\mathbb{R}^n$ .

        Определение 7.8   Базой $ \mathcal{B}$ называется такой набор множеств $ E$ , называемых окончаниями базы, что, во-первых, все $ E$ не пусты и, во-вторых, если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$ , то найдётся такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$ , что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$ .     

        Определение 7.9   Пусть функция $ f$ такова, что её область определения содержит целиком некоторое окончание базы $ \mathcal{B}$ . Число $ L$ называется пределом функции $ f$ по базе $ \mathcal{B}$ , если для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$ , что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . Число $ L$ обозначается тогда

$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x).$

    

Дадим примеры баз, используемых при вычислении пределов функций нескольких переменных.

        Пример 7.6   Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Назовём проколотой $ {\delta}$ -окрестностью $ E_{{\delta}}^{x^0}$ открытый шар радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ , из которого выброшена сама точка $ x^0$ , то есть

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}=B^{x^0}_{{\delta}}\diagdown \{x^0\}.$

База всех проколотых $ {\delta}$ -окрестностей точки $ x^0$ обозначается $ x\to x^0$ .

Пусть $ {\Omega}$  -- некоторое фиксированное непустое множество в $ \mathbb{R}^n$ и $ x^0\in\mathop{\rm clo}\nolimits ({\Omega})$ . Рассмотрим в качестве окончаний все пересечения $ {\Omega}$ с проколотыми $ {\delta}$ -окрестностями точки $ x^0$ :

$\displaystyle E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})
=E^{x^0}_{{\delta}}\cap{\Omega}.$

Тогда совокупность всех $ E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ образуют базу. Эту базу мы будем обозначать $ x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0$ .

Рис.7.8.



Если $ x^0\in\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ , то при достаточно малых $ {\delta}$ окончания $ E^{x^0}_{{\delta}}({\Omega})$ совпадают с проколотыми окрестностями точки $ x^0$ .

Рис.7.9.



    

        Пример 7.7   Множества

$\displaystyle O_r=\{x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert\geqslant r\}=\complement B_r^0,$

то есть внешности шаров радиуса $ r$ с центром в начале координат, образуют базу окрестностей бесконечности. Эта база обозначается $ x\to\infty$ .     

По любой из приведённых баз можно вычислять предел функции нескольких переменных, при условии, что функция определена на каком-нибудь окончании данной базы.

Например, число $ L$ служит пределом функции $ f(x)$ при $ x\to x^0$ , где $ x^0$  -- внутренняя точка области $ {\Omega}\sbs\mathcal{D}(f)$ , если для любого числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое (достаточно малое) число $ {\delta}>0$ , задающее проколотую окрестность $ E_{{\delta}}^{x^0}$ , что при $ x\in E_{{\delta}}^{x^0}$ будет выполнено неравенство $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ . В этом случае будем писать

$\displaystyle L=\lim_{x\to x^0}f(x).$

Если же $ x^0$  -- не внутренняя, а граничная точка области $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть предел функции $ f(x)$ по базе $ x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0$ . (Заметим, что если $ {\Omega}=\mathcal{D}(f)$ и $ x^0\in\partial{\Omega}$ , то предел по базе $ x\to x^0$ заведомо не имеет смысла, так как функция $ f(x)$ не определена во всех точках ни одного из окончаний этой базы). Вся разница с пределом по базе $ x\to x^0$ будет состоять в том, что требовать выполнения неравенства $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ мы теперь будем лишь в тех точках $ x$ проколотой $ {\delta}$ -окрестности точки $ x^0$ , которые одновременно принадлежат и $ {\Omega}$ . Предел

$\displaystyle L=\lim_{x\stackrel{{\Omega}}{\longrightarrow }x^0}f(x)$

мы будем называть пределом функции $ f(x)$ при $ x$ , стремящемся к $ x^0$ изнутри области $ {\Omega}$ .

Общие свойства пределов были нами изучены в курсе математики в первом семестре. Эти свойства верны и для пределов функций нескольких переменных.

Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

 Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y2 = 16; y = ±4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).

Системы координат.

 Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

 Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.

Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.

Полярная система координат.

 Определение. Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.

 Суть задания какой- либо системы координат на плоскости состоит в том, чтобы каждой точке плоскости поставить в соответствие пару действительных чисел, определяющих положение этой точки на плоскости. В случае полярной системы координат роль этих чисел играют расстояние точки от полюса и угол между полярной осью и радиус– вектором этой точки. Этот угол j называется полярным углом.

 


 М

 r

 r =

 j

 0

 l

 Можно установить связь между полярной системой координат и декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль положительного направления оси Ох.

Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные Пусть  определена в некоторой окрестности точки ,  - точка из этой окрестности. Определение. Величина  называется приращением функции  в точке , соответствующим приращению аргумента . Определение. Функция  называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа  и функции  при , что  (1).