Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy=
\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+
\frac{\partial f}{\...
...l f}{\partial x_n}(x)dx_n=
\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy=
 \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+
 \frac{\partial h}{\...
...tial h}{\partial u_n}(u)du_n=
 \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl(
 \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\...
... \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))
 \Bigl(
 \su...
...
 dg_i(u;du)=
 \sum_{i=1}^n
 \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u))
 dx_i(u;du).$   

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n
\frac{\partial y}{\partial x_i}(x)
dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей

через две точки.

 Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

 Кроме того, для точки М1 можно записать:

.

:-90;margin-left:190px; margin-top:16px;width:218px;height:51px'> Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

Общие уравнения прямой в пространстве.

  Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

  Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:

×+ D = 0, где

- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.

 Пусть в пространстве заданы две плоскости: ×+ D1 = 0 и ×+ D2 = 0, векторы нормали имеют координаты: (A1, B1, C1), (A2, B2, C2); (x, y, z).

 Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:

:-89;margin-left:239px; margin-top:13px;width:139px;height:66px'>

 Общие уравнения прямой в координатной форме:

:-88;margin-left:205px; margin-top:15px;width:196px;height:59px'>

 Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

 Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

 При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

 Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

 Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

 Находим компоненты направляющего вектора прямой.

 Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 Составим характеристическое уравнение:

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l2 - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l2) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l2 - 4l + 6l2 - l3 + 10l - 40 = 0

-l3 + 7l2 – 36 = 0

-l3 + 9l2 - 2l2 – 36 = 0

-l2(l + 2) + 9(l2 – 4) = 0

(l + 2)(-l2 + 9l - 18) = 0

Собственные значения: l1 = -2; l2 = 3; l3 = 6;

1) Для l1 = -2: 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 0;  x3 = -1;

Собственные векторы: 

2) Для l2 = 3: 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = -1;  x3 = 1;

Собственные векторы:

3) Для l3 = 6: 

Если принять х1 = 1, то Þ х2 = 2;  x3 = 1;

Собственные векторы: 

 

 Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 Составим характеристическое уравнение:

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l2 - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l2 - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l2 + 9l - l3 + 3l2 - 8l = 0

-l3 + l = 0

l1 = 0; l2 = 1; l3 = -1;

 Для l1 = 0: 

 

Если принять х3 = 1, получаем х1 = 0, х2 = -2

Собственные векторы ×t,  где t – параметр.

Аналогично можно найти и  для l2 и l3.

Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные Пусть  определена в некоторой окрестности точки ,  - точка из этой окрестности. Определение. Величина  называется приращением функции  в точке , соответствующим приращению аргумента . Определение. Функция  называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа  и функции  при , что  (1).