Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция $ f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)$ , для которой в некоторой точке $ x^0=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0;x_n^0)$ выполнено неравенство

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\ne0.$

Тогда в некоторой окрестности точки $ x^0$ уравнение

$\displaystyle f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)=0$

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию $ {x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})}$ , заданную вблизи точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0)$ в $ \mathbb{R}^{n-1}$ .

Пусть требуется найти её частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}}(x^*)$ , $ i=1;\dots;n-1$ . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

$\displaystyle F(x_1;\dots;x_{n-1})=f(x_1;\dots;x_{n-1};{\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})),$

которая тождественно равна 0 в окрестности точки $ x^*$ ; следовательно, и все её частные производные в точке $ x^*$ обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции $ F$ , переменную $ t=x_i$ , где $ i=1,\dots,n-1$ , получаем по формуле $ F'_t=f'_{x_1}\cdot(x_1)_t'+\ldots+f'_{x_{n-1}}\cdot(x_{n-1})'_t$ :

$\displaystyle 0=f'_{x_i}\cdot1+f'_{x_n}\cdot(x_n)'_{x_i}$

(производные $ (x_j)'_{x_i}$ равны 0 при $ j\ne i$ , $ j\ne n$ ), то есть

$\displaystyle f'_{x_i}(x^0)+f'_{x_n}(x^0)\cdot{\varphi}'_{x_i}(x^*)=0,$

откуда

$\displaystyle {\varphi}'_{x_i}(x^*)=-\frac{f'_{x_i}(x^0)}{f'_{x_n}(x^0)},$

или

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}(x_1^0;\dots;x^0_{n-1})=
 -...
...^0_{n-1};x^0_n)}
 {\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^1;\dots;x^0_{n-1};x^0_n)}.$(7.9)

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ , не имея задающего её явного выражения.

        Пример 7.20   Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением

$\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

в окрестности точки $ (1;2;1)$ (проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные $ {\varphi}'_x(1;2)$ и $ {\varphi}'_y(1;2)$ . Поскольку для функции

$\displaystyle f(x;y;z)=x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2$

частные производные равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^2yz+y^2z^3-4xy^2z^4;
\frac{\par...
...}=x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4;
\frac{\partial f}{\partial z}=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3$

$ \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;1)=x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3\Bigr\vert _{x=1,y=2,z=1}=-18\ne0,$ так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\pa...
...rtial f}{\partial z}}=
-\frac{x^3z+2xyz^3-4x^2yz^4}{x^3y+3xy^2z^2-8x^2y^2z^3}.$

Подставляя координаты точки (1;2;1), находим:

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x}(1;2)=
-\frac{6+4-16}{2+12-3...
...frac{\partial{\varphi}}{\partial y}(1;2)=
-\frac{1+4-8}{2+12-32}=-\frac{1}{6}.$

    

 Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор  линейным преобразованием с матрицей А, а вектор  в вектор   линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор  в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

 Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = В×А

Т.е.

 Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

Приложения интеграла: объем тела Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.