Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

$\displaystyle f(x)-f(x^0)=df(x^0;dx)+{\alpha}(x^0;dx),$

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

$\displaystyle f(x)-f(x^0)\approx df(x^0;dx),$

если считать (при малых $ \vert dx\vert$ ) значение бесконечно малой величины $ {\alpha}(x^0;dx)$ много меньшим, чем $ \vert dx\vert$ . Перенося $ f(x^0)$ в правую часть, получаем:

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+df(x^0;dx),$

где $ x=x^0+dx$ . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

$\displaystyle f(x^0+dx)\approx f(x^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n.$

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции $ f$ в точках $ x=x^0+dx$ , если известны значения $ f$ и её частных производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ в точке $ x^0$ .

        Пример 7.23   Пусть требуется приближённо вычислить значение

$\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Рассмотрим функцию

$\displaystyle f(x;y;z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

и будем трактовать числа $ 0{,}98=1+(-0{,}02);\ 2{,}03=2+0{,}03;\ 1{,}96=2+(-0{,}04)$ как малые отклонения на $ {dx=-0{,}02}$ , $ {dy=0{,}03}$ , $ {dz=-0{,}04}$ от "круглых" значений $ {x_0=1,\ y_0=2,\ z_0=2}$ .

Поскольку

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}};
\fra...
...qrt{x^2+y^2+z^2}};
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

то дифференциал функции равен

$\displaystyle df=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dx+
\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}d...
...ac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz=
\frac{x\;dx+y\;dy+z\;dz}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dz.
$

Значение функции в точке $ (x_0;y_0;z_0)=(1;2;2)$ равно $ f(1;2;2)=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3;$ значения частных производных равны

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1;2;2)=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}...
... \frac{\partial f}{\partial y}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3};$   
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(1;2;2)=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}.$   

Поэтому

$\displaystyle df=\frac{1}{3}\cdot(-0{,}02+\frac{2}{3}\cdot0{,}03+\frac{2}{3}\cdot(-0{,}04)=
-\frac{0{,}04}{3}\approx-0{,}0133$

и

$\displaystyle f(1{,}98;2{,}03;1{,}96)=\sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}\approx
3+(-0{,}0133)=2{,}9867.$

    

Линейное (векторное) пространство.

Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

 Эта общность свойств позволяет обобщить понятие линейных операций для любых множеств вне зависимости от того, что это за множества (числа, матрицы и т.д.).

 Для того, чтобы дать определение линейного (векторного) пространства рассмотрим некоторое множество L действительных элементов, для которых определены операции сложения и умножения на число.

 Эти операции обладают свойствами:

 1) Коммутативность + = +

2) Ассоциативность (+) + = + (+)

3)Существует такой нулевой вектор , что +=для "Î L

4) Для "Î L существует вектор  = -, такой, что +=

 5)1× =

 6) a(b) = (ab)

 7) Распределительный закон (a + b) = a+ b

 8) a(+) = a+ a

 Определение: Множество L, элементы которого обладают перечисленными выше свойствами, называется линейным (векторным) пространством, а его элементы называются векторами.

 Важно не путать понятие вектора, приведенное выше с понятием вектора как направленного отрезка на плоскости или в пространстве. Направленные отрезки являются всего лишь частным случаем элементов линейного (векторного) пространства. Линейное (векторное) пространство – понятие более широкое. Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.

 Если операции сложения и умножения на число определены для действительных элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.

Свойства линейных пространств.

 1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.

 2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.

 3) Для каждого Î L верно 0× = 0

 4) Для каждого a Î R и Î L верно a×=

 5) Если a× = , то a = 0 или  =

 6) (-1)  = -


Приложения интеграла: объем тела Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.