Определение градиента и стационарных точек функции

Пусть в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ задана функция $ f(x)$ , которая в некоторой точке $ x^0\in{\Omega}$ имеет частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , $ i=1,\dots,n$ .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

 

$\displaystyle g(x^0)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\dots;\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr),$

называется градиентом функции $ f(x)$ , вычисленным в точке $ x^0$ . Градиент $ g(x^0)$ обозначается также $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ (\nabla f)(x^0)$ .

Если частные производные существуют во всех точках области $ {\Omega}$ , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке $ x\in{\Omega}$ , представляет собой вектор-функцию $ g(x)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)$ со значениями в $ \mathbb{R}^n$ .     

В некоторых точках $ x^0$ градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке $ x^0$ будут равны 0:

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0\Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=0$ при всех $\displaystyle i=1,\dots,n.$

Такие точки $ x^0$ называются стационарными точками функции $ f(x)$ .

        Пример 8.1   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Поскольку

$\displaystyle f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4;\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3,$

то

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)=(2x_1+3x_2-4;3x_1+4x_2+3),$

а стационарные точки задаются системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4=0;\\
f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3=0.
\end{array}\right.$

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x_1=18;\\
x_2=-25.
\end{array}\right.$

Значит, $ x^0=(18;-25)$  -- единственная стационарная точка этой функции.     

Линейные преобразования.

 Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

  Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

  Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

  Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

 Определение: Если  только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

 Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

  Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Матрицы линейных преобразований.

 Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

  Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

 Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А×