Определение градиента и стационарных точек функции

Пусть в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ задана функция $ f(x)$ , которая в некоторой точке $ x^0\in{\Omega}$ имеет частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , $ i=1,\dots,n$ .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

 

$\displaystyle g(x^0)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\dots;\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr),$

называется градиентом функции $ f(x)$ , вычисленным в точке $ x^0$ . Градиент $ g(x^0)$ обозначается также $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ (\nabla f)(x^0)$ .

Если частные производные существуют во всех точках области $ {\Omega}$ , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке $ x\in{\Omega}$ , представляет собой вектор-функцию $ g(x)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)$ со значениями в $ \mathbb{R}^n$ .     

В некоторых точках $ x^0$ градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке $ x^0$ будут равны 0:

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0\Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=0$ при всех $\displaystyle i=1,\dots,n.$

Такие точки $ x^0$ называются стационарными точками функции $ f(x)$ .

        Пример 8.1   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Поскольку

$\displaystyle f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4;\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3,$

то

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)=(2x_1+3x_2-4;3x_1+4x_2+3),$

а стационарные точки задаются системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4=0;\\
f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3=0.
\end{array}\right.$

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
x_1=18;\\
x_2=-25.
\end{array}\right.$

Значит, $ x^0=(18;-25)$  -- единственная стационарная точка этой функции.     

Линейные преобразования.

 Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

  Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

  Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

 Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+¹ 0.

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

  Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

 Определение: Если  только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

 Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

  Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

Матрицы линейных преобразований.

 Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…, задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a11+ a21+…+ an1

A= a12+ a22+…+ an2

……………………………….

A= an1+ an2+…+ ann

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

  Если в пространстве L взять вектор = x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.

, где

……………………………..

 Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А×


Приложения интеграла: объем тела Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.