Вывод формулы Тейлора

Предположим, что в рассматриваемой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ функция $ f(x)$ имеет все частные производные до порядка $ m+1$ включительно. Рассмотрим прямую $ \ell$ , соединяющую фиксированную внутреннюю точку $ x^0\in{\Omega}$ с произвольной точкой $ x\in{\Omega}$ и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего $ x^0$ с $ x$ , также принадлежат $ {\Omega}$ :

$\displaystyle x^t=x^0+t(x-x^0)\in{\Omega}$ при $\displaystyle t\in[0;1].$

Рассмотрим ограничение функции $ f$ на прямую $ \ell$ (точнее, на её часть, лежащую в пределах области $ {\Omega}$ ) и параметризуем это ограничение параметром $ t$ . Полоучим функцию одного переменного $ t$ :

$\displaystyle \wt f(t)=f(x^0+t(x-x^0)).$

К функции $ \wt f$ можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке $ t_0=0$ :

$\displaystyle \wt f(t)=\wt f(0)+\wt f'(0)t+\frac{1}{2!}\wt f''(0)t^2+\ldots+
 \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)t^m+
 \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r)t^m,$   

где $ r$  -- некоторая точка отрезка между 0 и $ t$ . Если $ t\in[0;1]$ , то $ r$ также принадлежит отрезку $ [0;1]$ . Отсюда при $ t=1$ получаем

$\displaystyle \wt f(1)=\wt f(0)+\wt f'(0)+\frac{1}{2!}\wt f''(0)+\ldots+
 \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)+
 \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r),$(9.1)

где $ r\in[0;1]$ .

Очевидно, что $ \wt f(0)=f(x^0)$ . Посмотрим, как производные

$\displaystyle \wt f'(0),\ \wt f''(0),\ \dots,\ \wt f^{(m)}(0),\ \wt f^{(m+1)}(r)$

выражаются через частные производные функции $ f$ .

Для нахождения $ \wt f'(t)$ воспользуемся формулой производной сложной функции:

$\displaystyle \wt f'(t)=\frac{d}{dt}f(x^0+t(x-x^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_1^0+t(x_...
...ts+
 \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_n^0+t(x_n-x_n^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)(x_1-x_1^0)+\ldots+
 \frac{\...
...(x^t)(x_n-x_n^0)=
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)=$   
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^t)\cdot(x-x^0).$   

При $ t=0$ получаем

$\displaystyle \wt f'(0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)=$(9.2)
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0).$(9.3)

Вычислим теперь $ \wt f''(0)$ , для чего найдём $ \wt f''(t)$ :

$\displaystyle \wt f''(t)=\frac{d}{dt}\wt f'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)\Bigr)=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}(x^t)\Bigr)\Bigr]
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[
 \sum_{i_1=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_2}-x^0_{i_2})
 \Bigr](x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_1=2}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$   

Положив в этой формуле $ t=0$ , получаем:

$\displaystyle \wt f''(0)=\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$(9.4)

Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до $ n$ , порядок частных производных функции $ f$ , вычисленных в точке $ x^0$ , а также количество сомножителей-биномов вида $ (x_{i_j}-x^0_{i_j})$ . Для третьей производной получаем

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>109 \wt f^{(3)}(0)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_...
...t x_{i_3}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})
 (x_{i_3}-x^0_{i_3}),$   

а для производной порядка $ m$  --

$\displaystyle \wt f^{(m)}(0)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_m=...
..._m}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_m}).$(9.5)

Правая часть формулы (9.5) содержит $ n^m$ слагаемых, в каждом из которых $ m+1$ множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее $ \wt f^{(m+1)}(r)$ :

$\displaystyle \wt f^{(m+1)}(r)=
 \sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_...
...(x^r)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_{m+1}}),$(9.6)

где $ x^r=x^0+r(x-x^0)$ .

Подставляя выражения (9.2), (9.4),..., (9.5), (9.6) в правую часть формулы (9.1), получаем в результате следующее утверждение:

        Теорема 9.1 (Формула Тейлора для функции нескольких переменных)   Пусть функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ и имеет в $ {\Omega}$ все частные производные до порядка $ m+1$ включительно. Пусть $ x^0$ и $ x$  -- две точки области $ {\Omega}$ , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в $ {\Omega}$ . Тогда для некоторой точки $ x^r$ этого отрезка имеет место равенство

$\displaystyle f(x)=f(x^0)+
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)+$(9.6*)
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})+\ldots+$   
$\displaystyle +\frac{1}{m!}\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_m=1}^n...
..._m}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_m})+$   
$\displaystyle +\frac{1}{(m+1)!}\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_{m...
...(x^r)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_{m+1}}).$(9.7)

    

Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции $ f$ в точке $ x^0$ , а эта последняя строка содержит остаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между $ x$ и $ x^0$ (он имеет порядок $ \vert x-x^0\vert^{m+1}$ , в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше $ \vert x-x^0\vert^m$ , если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)+\notag$   
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})+\ldots+\notag$   
$\displaystyle +\frac{1}{m!}\sum_{i_1=1}^n
 \sum_{i_2=1}^n\ldots
 \sum_{i_m=1}^n...
..._m}}(x^0)
 (x_{i_1}-x^0_{i_1})
 (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots
 (x_{i_m}-x^0_{i_m}),$   

содержащую лишь значения функции $ f$ и её частных производных, вычисленные в точке $ x^0$ (но не в других точках $ x^r$ ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции $ f(x)$ в точках $ x$ , близких к $ x^0$ . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях $ m$ , как правило, $ m=1$ и $ m=2$ .

При $ m=1$ получается линейное приближение функции $ f$ (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией $ y=l(x)$ , графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при $ x=x^0$ к графику функции $ y=f(x)$ ):

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0).$   

При $ m=2$ получается квадратичное приближение функции $ f$ :

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+
 \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(...
...=1}^n
 \sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)(x_i-x^0_i)(x_j-x^0_j).$(9.8)

Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ .

Бесконечно малые функции.

 Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

 Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

 Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

 Свойства бесконечно малых функций:

Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

 Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 


 a x a x a x

 Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

 Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

Сравнение бесконечно малых функций.

 Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

 Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 Определение. Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.

 Определение. Если , то a и b называются бесконечно малыми одного порядка.

 Определение. Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.

 Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.

т.е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.

 Определение. Бесконечно малая функция a называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции b, если предел  конечен и отличен от нуля.

 Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение   не имеет предела, то функции несравнимы.

 

 Пример. Если , то при х®0 , т.е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.

 Пример. Если , то при х®0  не существует, т.е. функция a и b несравнимы.

Свойства эквивалентных бесконечно малых.

 1) a ~ a

 2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g

 3) Если a ~ b, то b ~ a

 4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и  или .

Следствие: а) если a ~ a1  и , то и

 б) если b ~ b1 и , то

Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.

 

Приложения интеграла: объем тела Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.