Инженерная графика
Физика
Атомные станции
Строймех
ТКМ
Начертательная геометрия
Экология энергетики
Сопромат
Готика
Черчение
Теплотехника
Математика

Театр

Конспект лекций
Атомная энергетика
Карта

Вычисление интегралов Мора. Правило Верещагина. Примеры

Процедуру перемножения функций, например, изгибающих моментов в двух состояниях и последующего интегрирования произведения в пределах одного участка системы можно значительно упростить, если воспользоваться так называемым правилом Верещагина. Фрагменты эпюр моментов в двух состояниях: действительном, в котором действует заданная нагрузка, и единичном (воображаемом). В действительном состоянии эпюра моментов может иметь криволинейное очертание, а в единичном - всегда прямолинейное.

Воспользуемся последним обстоятельством и продолжим прямую эпюры   до пересечения с осью - отметим точку . Обозначим расстояние от точки  до текущей ординаты  через z. Тогда . Приступим к вычислению определенного интеграла, считая поперечное сечение стержня в пределах одного участка постоянным. Нелинейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении кривой линии в пространстве по какому-либо закону. Вид нелинейчатой поверхности определяется формой образующей линии и характером её движения.

 = .

Здесь введено обозначение - элементарная площадь эпюры . Последний интеграл по площади в курсе сопротивления материалов называют статическим моментом площади фигуры (в нашем случае - эпюры моментов ) относительно оси y . Там же доказывается, что если известна координата центра тяжести фигуры, то статический момент численно равен произведению площади на эту координату. Таким образом, обозначив   - координату центра тяжести эпюры   относительно оси у, а - площадь эпюры , получим

 = , (2.17)

где  - ордината эпюры  под центром тяжести эпюры .

Окончательно правило Верещагина формулируется следующим образом: для того, чтобы вычислить интеграл от произведения двух эпюр, нужно площадь криволинейной эпюры умножить на ординату прямолинейной под центром тяжести криволинейной и результат разделить на EJ.

Если обе эпюры прямолинейные, то площадь и центр тяжести можно вычислять у любой из них, а ординату - у другой.

Обычно криволинейность эпюры  вызвана действием равномерно распределенной нагрузки. При этом всегда такую эпюру можно рассматривать как сумму прямолинейной эпюры, возникающей от концевых моментов, и параболического сегмента, имеющего вид эпюры моментов в однопролетной шарнирно опертой балке от равномерно распределенной нагрузки. Отклонение криволинейной эпюры в середине участка от линии, соединяющей крайние ординаты и , называют стрелкой и обозначают f. От действия равномерно распределенной нагрузки q всегда , (2.18)

а площадь параболического сегмента  (2.19)

с центром тяжести посередине участка.

Прямолинейную часть эпюры можно, в свою очередь, рассматривать как сумму двух треугольных эпюр с центрами тяжести в соответствующей трети участка.

ПРИМЕР №1

Для заданной рамы определить линейные и угловые перемещения по направлению 1,2 и 3 .

Для вычисления всех перемещений нужно построить эпюру моментов от заданной нагрузки. Начнем с определения опорных реакций. Для определения реакции составим уравнение равновесия

;

; .

Для определения вертикальной составляющей реакции в точке А составим уравнение равновесия

;

.

Для определения горизонтальной составляющей

 ;  

Проверка 

Реакции найдены верно.

Проводим разрез на ригеле и рассматриваем правую оставшуюся часть

Составим уравнение равновесия

   

Получили положительный результат, значит - момент в сечении действует именно так, то есть вызывает растягивающие напряжения в нижних волокнах стержня. Следовательно, ординаты эпюры откладываем вниз - в сторону растянутых волокон. Эпюра имеет треугольный вид.

Проведя разрез на левой части ригеля (консоли), убеждаемся, что там =0.

При построении эпюры на стойке можно провести разрез и записать аналитическое выражение ординат, но можно воспользоваться принципом независимости действия сил и рассуждать следующим образом. Изгибающий момент в любом сечении стойки возникает от действия момента в верхнем сечении и равномерно распределенной нагрузки по всей длине. Узел примыкания ригеля к стойке должен быть в равновесии, поэтому, зная изгибающий момент в ригеле, вызывающий растяжение нижних волокон 16 кНм, мы можем уверенно сказать, что в верхнем сечении стойки изгибающий момент должен действовать так.чтобы вызывать растяжение правых волокон и быть равным 16 кНм. В сечении у опоры А момент должен быть равен 0 - получается треугольная эпюра, но действие распределенной нагрузки приводит к необходимости добавления параболического сегмента со стрелкой

направленной в сторону действия нагрузки q

При таком способе построения не определяется точка экстремума изгибающего момента, но для вычисления перемещения она не нужна. В нашем случае точка экстремума  на стойке будет в верхнем сечении, где Q = 0.

Для определения проекции перемещения точки С на направление 1, приложим по этому направлению единичную силу  и построим эпюру .

Применим формулу Мора в виде (2.16)

 = (м).

Положительный результат означает, что проекция перемещения точки С на направление 1, при действии нагрузки q, направлена вниз.

Определим линейное перемещение точки В по направлению 2. Для этого приложим в точке В единичную силу  по этому направлению и построим эпюру . Применим формулу Мора в виде (2.16) и способ Верещагина

 м.

Точка перемещается вправо (по направлению ). Определим угол поворота сечения А по направлению 3.

Для этого приложим в сечении А сосредоточенный момент  и построим эпюру . Далее применим формулу Мора и правило Верещагина. В таких случаях говорят “перемножим эпюры  и “.

радиан.

Сечение А поворачивается по часовой стрелке (по направлению ).


Учебное пособие предназначено для студентов немашиностроительных специальностей при выполнении ими контрольных заданий и курсового проекта