Сопративление метериалов Расчет неразрезной балки по уравнению трех моментов Расчет однопролетных статически неопределимых балок

Вычисление интегралов Мора. Правило Верещагина. Примеры

Процедуру перемножения функций, например, изгибающих моментов в двух состояниях и последующего интегрирования произведения в пределах одного участка системы можно значительно упростить, если воспользоваться так называемым правилом Верещагина. Фрагменты эпюр моментов в двух состояниях: действительном, в котором действует заданная нагрузка, и единичном (воображаемом). В действительном состоянии эпюра моментов может иметь криволинейное очертание, а в единичном - всегда прямолинейное.

Воспользуемся последним обстоятельством и продолжим прямую эпюры   до пересечения с осью - отметим точку . Обозначим расстояние от точки  до текущей ординаты  через z. Тогда . Приступим к вычислению определенного интеграла, считая поперечное сечение стержня в пределах одного участка постоянным. Нелинейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении кривой линии в пространстве по какому-либо закону. Вид нелинейчатой поверхности определяется формой образующей линии и характером её движения.

 = .

Здесь введено обозначение - элементарная площадь эпюры . Последний интеграл по площади в курсе сопротивления материалов называют статическим моментом площади фигуры (в нашем случае - эпюры моментов ) относительно оси y . Там же доказывается, что если известна координата центра тяжести фигуры, то статический момент численно равен произведению площади на эту координату. Таким образом, обозначив   - координату центра тяжести эпюры   относительно оси у, а - площадь эпюры , получим

 = , (2.17)

где  - ордината эпюры  под центром тяжести эпюры .

Окончательно правило Верещагина формулируется следующим образом: для того, чтобы вычислить интеграл от произведения двух эпюр, нужно площадь криволинейной эпюры умножить на ординату прямолинейной под центром тяжести криволинейной и результат разделить на EJ.

Если обе эпюры прямолинейные, то площадь и центр тяжести можно вычислять у любой из них, а ординату - у другой.

Обычно криволинейность эпюры  вызвана действием равномерно распределенной нагрузки. При этом всегда такую эпюру можно рассматривать как сумму прямолинейной эпюры, возникающей от концевых моментов, и параболического сегмента, имеющего вид эпюры моментов в однопролетной шарнирно опертой балке от равномерно распределенной нагрузки. Отклонение криволинейной эпюры в середине участка от линии, соединяющей крайние ординаты и , называют стрелкой и обозначают f. От действия равномерно распределенной нагрузки q всегда , (2.18)

а площадь параболического сегмента  (2.19)

с центром тяжести посередине участка.

Прямолинейную часть эпюры можно, в свою очередь, рассматривать как сумму двух треугольных эпюр с центрами тяжести в соответствующей трети участка.

ПРИМЕР №1

Для заданной рамы определить линейные и угловые перемещения по направлению 1,2 и 3 .

Для вычисления всех перемещений нужно построить эпюру моментов от заданной нагрузки. Начнем с определения опорных реакций. Для определения реакции составим уравнение равновесия

;

; .

Для определения вертикальной составляющей реакции в точке А составим уравнение равновесия

;

.

Для определения горизонтальной составляющей

 ;  

Проверка 

Реакции найдены верно.

Проводим разрез на ригеле и рассматриваем правую оставшуюся часть

Составим уравнение равновесия

   

Получили положительный результат, значит - момент в сечении действует именно так, то есть вызывает растягивающие напряжения в нижних волокнах стержня. Следовательно, ординаты эпюры откладываем вниз - в сторону растянутых волокон. Эпюра имеет треугольный вид.

Проведя разрез на левой части ригеля (консоли), убеждаемся, что там =0.

При построении эпюры на стойке можно провести разрез и записать аналитическое выражение ординат, но можно воспользоваться принципом независимости действия сил и рассуждать следующим образом. Изгибающий момент в любом сечении стойки возникает от действия момента в верхнем сечении и равномерно распределенной нагрузки по всей длине. Узел примыкания ригеля к стойке должен быть в равновесии, поэтому, зная изгибающий момент в ригеле, вызывающий растяжение нижних волокон 16 кНм, мы можем уверенно сказать, что в верхнем сечении стойки изгибающий момент должен действовать так.чтобы вызывать растяжение правых волокон и быть равным 16 кНм. В сечении у опоры А момент должен быть равен 0 - получается треугольная эпюра, но действие распределенной нагрузки приводит к необходимости добавления параболического сегмента со стрелкой

направленной в сторону действия нагрузки q

При таком способе построения не определяется точка экстремума изгибающего момента, но для вычисления перемещения она не нужна. В нашем случае точка экстремума  на стойке будет в верхнем сечении, где Q = 0.

Для определения проекции перемещения точки С на направление 1, приложим по этому направлению единичную силу  и построим эпюру .

Применим формулу Мора в виде (2.16)

 = (м).

Положительный результат означает, что проекция перемещения точки С на направление 1, при действии нагрузки q, направлена вниз.

Определим линейное перемещение точки В по направлению 2. Для этого приложим в точке В единичную силу  по этому направлению и построим эпюру . Применим формулу Мора в виде (2.16) и способ Верещагина

 м.

Точка перемещается вправо (по направлению ). Определим угол поворота сечения А по направлению 3.

Для этого приложим в сечении А сосредоточенный момент  и построим эпюру . Далее применим формулу Мора и правило Верещагина. В таких случаях говорят “перемножим эпюры  и “.

радиан.

Сечение А поворачивается по часовой стрелке (по направлению ).

Механические свойства материалов при растяжении и сжатии Опытное изучение механических свойств материалов при растяжении и сжатии. Диаграммы растяжения и сжатия пластических материалов ( P, и , ). Основные механические характеристики материала: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести и предел прочности ( временное сопротивление). Особенности деформирования и разрушения пластичных материалов при растяжении и сжатии. Пластические деформации. Линии скольжения. Понятие об истинной диаграмме растяжения и сжатия. Разгрузка и повторное нагружение. Наклеп. Диаграммы растяжения и сжатия хрупких материалов и их основные механические характеристики. Особенности разрушения хрупких материалов при растяжении и сжатии. Влияние скорости нагружения, температуры и других факторов на прочностные характеристики материалов. Понятие о влиянии радиоактивного облучения материалов. Последствие (упругое и
Учебное пособие предназначено для студентов немашиностроительных специальностей при выполнении ими контрольных заданий и курсового проекта