Задачи строительной механики Наука «Сопротивление материалов» Дополнительные задачи на сдвиг Расчет балок на жесткость Вычисление моментов инерции

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Сложным сопротивлением называют различные комбинации простых сопротивлений бруса – растяжения или сжатия, сдвига, кручения и изгиба. При этом на основании известного принципа независимости действия сил напряжения и деформации при сложном сопротивлении определяют суммированием напряжений и деформаций, вызванных каждым внутренним усилием, взятым в отдельности.

Из большого числа возможных видов сложного сопротивления бруса на практике наиболее распространены косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие и изгиб с кручением.

5.1. Косой изгиб

Изгиб, при котором внешние нагрузки, перпендикулярные оси балки, действуют в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей x,y и x,z, называют косым изгибом (рис. 5.1.1).

 Обычно внешнюю нагрузку, вызывающую косой изгиб, раскладывают на две составляющие по главным плоскостям, каждая из которых приводит к плоскому поперечному изгибу в своей плоскости. Таким образом, косой изгиб является сочетанием двух плоских поперечных изгибов, каждый из которых происходит в своей главной плоскости. 

 Нормальные напряжения, вызванные действием изгибающих моментов My и Mz в главных плоскостях и направленные перпендикулярно плоскости поперечного сечения балки, складываются алгебраически, т. е.

  (5.1.1) Определение опорных реакций Внецентренное растяжение и сжатие Сопротивление материалов

В формуле (5.1.1) знак «плюс» присваивается растягивающим напряжениям, знак «минус» – сжимающим, а величины изгибающих моментов берутся по модулю.

 Условия прочности для наиболее удаленных от осей y и z опасных точек сечения имеют вид

   (5.1.2) 

где (как и в гл.4) Wy,t и Wz,t – моменты сопротивления относительно осей y и z – для растянутых волокон; Wy,с и Wz,с – то же для сжатых волокон; Rt и Rc – расчетные сопротивления материала растяжению и сжатию соответственно; γс – коэффициент условий работы, принимаемый по табл. 1.1.

Условия прочности (5.1.2) позволяют решать три основных типа задач: проверочный расчет, подбор сечений балок и установление допускаемых внешних нагрузок. Например, задача о подборе сечения балки, испытывающей косой изгиб, решается на основе условий (5.1.2) при заданном или определенном сортаментом соотношении осевых моментов сопротивления Wz / Wy .

где R – наименьшее из расчетных сопротивлений Rt и Rc.

Условия прочности (5.1.2) относятся к опасным точкам таких сечений, как прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п. (угловые точки). Для сечений произвольной формы опасные точки – это точки, наиболее удаленные от нейтральной оси. Для этих точек (с координатами ) условия прочности имеют вид

   (5.1.3)

Положение нейтральной оси при косом изгибе определяется тангенсом угла наклона β (рис. 5.1.2) к главной оси z:

Касательные напряжения при косом изгибе рассчитываются по формуле

  (5.1.4)

являющейся естественным обобщением формулы (4.2.6).

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы wy и wz в направлении главных осей, а величину полного прогиба получают геометрическим суммированием:

Направление полного перемещения определяется отношением wz / wy :

  (5.1.5)

причем угол φ лежит в той же четверти, что и угол α (рис. 5.1.2).

Задача 5.1.1. Для консольной двутавровой балки, загруженной горизонтальной силой F1 = 0,56 кН и вертикальной силой F2 = 5,84 кН (рис. 5.1.3), построить эпюру нормальных напряжений в защемлении и найти максимальное нормальное напряжение σmax.

Решение. Нормальные напряжения определяем по формуле (5.1.1). Подсчитаем вначале величины изгибающих моментов в защемлении (по модулю):

My == 560 H·м;

Mz == 2920 H·м.

При этом момент Mz растягивает верхние волокна и сжимает нижние, а момент My растягивает левые волокна и сжимает правые.

Моменты инерции сечения, состоящего из прямоугольников, относительно осей z и y равны:

Iz = 116,67 см4 =

 Iy = 29,5 см4 =.

Для построения эпюры нормальных напряжений вычисляем напряжения в угловых точках a, b, c, d (рис. 5.1.3, б). В точке а оба момента Mz и My вызывают растяжение, поэтому напряжение имеет величину:

  В точке b момент Mz вызывает растяжение, а My – сжатие, поэтому

В точке с момент Mz вызывает сжатие, а My – растяжение, поэтому

В точке d оба момента Mz и My вызывают сжатие, поэтому

Определив напряжения в угловых точках и зная, что нормальные напряжения изменяются по закону плоскости, строим эпюру σ (рис. 5.1.4). Из эпюры видно, что наибольшее нормальное напряжение σmax = 138 МПа.

 Задача 5.1.2. Для стальной балки, лежащей на двух опорах и нагруженной силой F = 60 кН, лежащей в плоскости zy и составляющей угол α = 30o с вертикальной осью y (рис. 5. 1.5), подобрать прямоугольное сечение при условии, что h = 2b, Ry = 160 МПа, γс = 1.

 Решение. Разложив силу на две составляющие по главным осям сечения балки, определим опорные реакции, действующие в главных плоскостях, и построим эпюры изгибающих моментов Mz и My, рис. 5.1.6, а.

Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

В этом сечении наибольшие нормальные напряжения возникают в точках а (растяжение) и b (сжатие), рис. 5.1.6, б. Для них условие прочности запишется так:

 

Вычисляем моменты сопротивления Wz и Wy при заданном соотношении высоты h и ширины b:

Подставляем в условие прочности значения Mz , My , Wz и Wy. В итоге получим

,

откуда

 Задача 5.1.3. Для балки, лежащей на двух опорах и загруженной тремя вертикальными сосредоточенными силами F1 = F3 = 10 кН, F2 = 20 кН и равномерно распределенной горизонтальной нагрузкой q = 24кН/м, требуется подобрать прямоугольное поперечное сечение с отношением сторон

h = 1,5b. Пролет балки равен 1 м, Ry = =150 МПа, γс = 1 (рис. 5.1.7).

 Ответ: b = 6 см, h = 9 см. 

 Задача 5.1.4. Балка прямоугольного поперечного сечения b×h = =0,18м×0,24м нагружена так, как показано на рис. 5.1.8. Найти наибольшее нормальное напряжение, если сила F = 60 кН, пролет балки l = 3 м, угол между линией действия силы F и вертикальной осью α = 30o.

 Ответ: σmax = 35,5 МПа.

 Задача 5.1.5. Определить наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения в балке пролетом 2 м, опирающейся на шарнирные подвижную и неподвижную опоры и несущую посередине пролета сосредоточенный груз F = 6кН. Сечение балки с прямоугольным отверстием показано на рис. 5.1.9.

  У к а з а н и е

 Вначале необходимо определить положение нейтральной оси.

  Ответ: σmax = 35,1 МПа.


Задача 5.1.6. Балка прямоугольного сечения изгибается моментом М = =10кН·м (рис. 5.1.10). Найти точки с наибольшими нормальными напряжениями и вычислить эти напряжения.

Ответ: σmax = σ(a) = 7,15 МПа; σmin = σ(c) = –7,15 МПа.

 Задача 5.1.7. Балка двутаврового сечения № 20 свободно опирается на прогоны, наклоненные под углом 30о к горизонтали (рис. 5.1.11). Расстояние между осями прогонов 4 м. Балка посередине нагружена вертикальной сосредоточенной силой F = 8 кН. Пренебрегая собственным весом балки, определить напряжения в точках a, b, c, d и угол наклона β нейтральной оси сечения балки к главной оси z.

Ответ: σ(a) = –210,9 МПа; σ(b) = –135,5 МПа; σ(c) = 210,9 МПа;

 σ(d) = 135,5 МПа; β = 83 о48/.

 Задача 5.1.8. Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения длиной l = 2 м изгибается силой F = 8 кН, приложенной к ее свободному концу (рис. 5.1.12).

Пренебрегая собственным весом балки, подобрать номер двутаврового профиля и определить прогиб свободного конца, если

α = 30o, Ry = 140 МПа, γс = 1

и модуль упругости Е = 2·105 МПа.

 У к а з а н и е. Для двутаврового сечения при предварительном подборе принимают Wy / Wz = 8–10.

 Ответ: двутавр № 36; прогиб w = 1,03 см.

Задача 5.1.9. Стальная консольная балка двутаврового поперечного сечения (двутавр № 24) длиной 1 м загружена сосредоточенной вертикальной силой F = 40 кН. Найти максимальное нормальное напряжение в балке и вычислить прогиб конца консоли, если модуль упругости Е =МПа.

Определить, как изменятся напряжения и прогиб балки, если сила F отклонится от вертикали на угол α = 5о.

Ответ: при прямом изгибе σmax = 138,5 МПа; w = 0,193 см; при косом изгибе напряжения и прогиб возрастают в 1,7 раза.

Задача 5.1.10. При установлении опоры двутавра № 60 была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол равный 1о.

Определить связанное с этим увеличение нормальных напряжений и полного прогиба двутавра.

Ответ: напряжения увеличились на 20%, полный прогиб на 30%.

Внецентренное растяжение и сжатие бруса большой жесткости. Ядро сечения

  Жестким брусом называют брус, у которого прогибы малы по сравнению с размерами сечений и этими прогибами можно в расчете пренебречь. Внецентренное растяжение или сжатие возникает при приложении к брусу продольной силы с некоторым эксцентриситетом относительно центра тяжести поперечного сечения (рис. 5.2.1). Загружение стержня продольной силой, приложенной вне центра тяжести сечения, эквивалентно загружению стержня центральной силой N = F и двумя моментами (рис. 5.2.2)

Mz = Fey  и My = Fez.

От всех внутренних усилий N, Mz, и My в сечениях возникают нормальные напряжения, направленные перпендикулярно сечению. Для определения полного напряжения они алгебраически суммируются:

  (5.2.1)

где снова «знак» плюс соответствует растяжению, знак «минус» – сжатию.

Условие прочности для внецентренного растяжения или сжатия имеет вид

  (5.2.2)

причем если материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию , то при положительной сумме слагаемых она сравнивается с Rt , при отрицательной – с Rс.

Нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) – это прямая, не проходящая через центр тяжести сечения. Строить эту прямую удобно с помощью отрезков a0 и b0, отсекаемых на осях координат (рис. 5.2.3.)

Формулы для расчета этих отрезков имеют вид:

  (5.2.3) 

В этих формулах величины ey и ez , как уже отмечалось, являются координатами точки приложения силы F, т.е. берутся со своими знаками.

Область вокруг центра тяжести, внутри которой приложение силы вызывает во всех точках сечения напряжения одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра сечения необходимо задаться рядом положений нейтральной линии, проводя ее через граничные точки контура и вычислить координаты точек приложения силы ey и ez, используя формулы (5.2.3).

Задача 5.2.1. Найти допускаемую нагрузку для бруса, показанного на рис. 5.2.4, если расчетные сопротивления материала бруса на растяжение и сжатие равны

Radm,t = 20 МПа; Radm,с = 100 МПа.

Решение. Запишем условие прочности для наиболее напряженных точек любого сечения бруса, так как все сечения равноопасны:

Перепишем эти условия, учитывая, что

  и , тогда

  и 

Отсюда определяем значения допустимых нагрузок:

= 64000 Н = 64 кН.

= 192000 Н = 192 кН.

 Окончательно в качестве допустимой внешней нагрузки принимаем

Fadm = 64 кН.

Строительная механика изучает сооружения, состоящие из большого числа элементов, на основе общих принципов разрабатывает и совершенствует методы точного и приближенного расчета сложных систем (балок, арок, ферм, рам, пластинок, оболочек, пространственных конструкций). Курс строительной механики состоит из четырех частей. В полном объеме курс изучается только студентами специальностей "Промышленное и гражданское строительство" (ПГС) и "Мосты и тоннели" (МТ). Студенты специальностей "Городское строительство и хозяйство" (ГС), "Сельскохозяйственное строительство" (СХС) и "Автомобильные дороги" (АД) изучают только первые две части.
Строительная механика широко использует методы теоретической механики