ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Введенные во всех высших и средних технических учебных заведениях новые учебные планы и программы создают необходимые объективные условия для широкого использования ЭВМ. Рациональность использования ЭВМ особо ощутима при расчете статически неопределимых систем. Однако и при расчете некоторых статически определимых систем могут быть использованы ЭВМ. Это в первую очередь относится к таким задачам, решение которых состоит из большого числа аналогичных последовательных операций.
9.1. Вычисление моментов инерции плоских составных сечений
Геометрические характеристики плоских сечений рассматривались в главе 2. В разделе 2.3 предлагается порядок расчета для сложных составных сечений. Эту методику легко реализовать на ЭВМ. Ниже приведена программа на алгоритмическом языке Фортран-IV. Ввод числовых данных осуществляется самым простым способом – способом «присвоения».
В качестве образца взят числовой пример расчета, рассмотренный в п.2.3 (рис. 2.3.1). Сопротивление усталости Иметь представление об усталости материалов, о кривой усталости и пределе выносливости.
В программе применены следующие идентификаторы:
| Текст | xi | yi | Ai | Ixi | Iyi |
|
|
|
| хс | ус | tg2α |
| Программа | X(I) | Y(I) | A(I) | FIX(I) | FIY(I) | FIXY(I) | FIXC | FIYC | FIXYC | XC | YC | TG |
Ввод числовых данных для конкретного числового примера осуществляется в программе от метки (5) до метки (8) включительно.
ЭВМ выдает на печать координаты центра тяжести, осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей хс, ус, а также главные моменты инерции и тангенс двойного угла наклона главных осей.
PROGRAM AXE Построчные пояснения
C Геометрические характеристики плоских сечений
DIMENSION X(5), Y(5), A(5), FIX(5), FIY(5), FIXY(5), AB(5), BA(5)
5 N=4
X(1)=25. х1 = 25 см
Y(1)=24.8 у1 = 24,8 см
A(1)=50.*1.6 А1 = 50·1,6 (см2)
FIX(1)=50.*1.6**3/12. Ix1 = 50·1,63/12 (см4)
FIY(1)=1.6*50.**3/12. Iy1 = 1,6·503/12 (см4)
FIXY(1)=0. Ix1y1 = 0
X(2)=43.42 x2 = 43,42 см
Y(2)=12. y2 = 12 см
A(2)=30.6 A2 = 30,6 см2
FIX(2)=2900. Ix2 = 2900 см4
FIY(2)=208. Iy2 = 208 см4
FIXY(2)=0. Ix2y2 = 0 см4
X(3)=36.11
Y(3)=4.89
A(3)=42.19
FIX(3)=1316.62
FIY(3)=1316.62
FIXY(3)=776.5
X(4)=5.32
Y(4)=21.64
A(4)=30.04
FIX(4)=238.75
FIY(4)=784.22
8 FIXY(4)=249.2
C Определение координат центра тяжести
SY=0.
SX=0.
AA=0
FIXC=0.
FIYC=0.
FIXYC=0.
DO 10 I=1, N, 1
SY=SY+A(I)*X(I) Sy = ΣAixi (см. формулы (2.1.5))
SX=SX+A(I)*Y(I) Sч = ΣAiyi (см. формулы (2.1.5))
AA=AA+A(I) A = ΣAi
10 CONTINUE
XC=SY/AA xc = Sy /A(см. формулы (2.1.7))
YC=SХ/AA yc = Sx /A(см. формулы (2.1.7))
WRITE (7,15) XC, YC
15 FORMAT (5X, ‘Координаты центра тяжести’,// 7X, 3HXC=, F5.2, 3X, 3HYC=, F5.2)
C Вычисление моментов инерции относительно центральных осей
DO 20 I=1, N, 1
AB(I)=Y(I)–Y(C) ai = yi – yc
BA(I)=X(I)–XC bi = xi – xc
FIXC=FIXC+ FIX(I)+AB(I)**2*A(I) Ixc = Σ(Ixi + ai2Ai)
FIYC=FIYC+FIY(I)+BA(I)**2*A(I) Iyc = Σ(Iyi + bi2Ai)
FIXYC=FIXYC+FIXY(I)+AB(I)*BA(I)*A(I) Ixcyc = Σ(Ixiyi + aibiAi)
20 CONTINUE
С Вычисление главных моментов инерции
FIMAX=(FIXC+FIYC)/2.+0.5*SQRT((FIXC–FIYC)**2+4.*FIXYC**2) (см.(2.2.11))
FIMIN=(FIXC+FIYC)/2.–0.5*SQRT((FIXC–FIYC)**2+4.*FIXYC**2) (см.(2.2.11))
TG=2.*FIXYC/(FIYC–FIXC) (см.(2.2.12))
WRITE (7,25) FIXC, FIYC, FIXYC, FIMAX, FIMIN, TG
25 FORMAT (5X,’Осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных
* осей’//7X, 4HIXC=, F9.2, 3X, 4HIYC=, F9.2, 5HIXYC=, F9.2,// 5X, ‘Главные
* моменты инерции’//7X, 5HIMAX=, F9.2, 3Х, 5HIMIN=, F9.2//5X, ‘Тангенс двойного
* угла наклона главных осей’//7X, 3HTG=, F10.5)
STOP
END
Результаты расчета, выдаваемые на печать:
Координаты центра тяжести
Хс=27.41 Ус=17.54
Осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей
Iхс=16884.53 Iус=45135.47 Iхус=-10452.02
Главные моменты инерции
Imax=48581.96 Imin=13438.04
Тангенс двойного угла наклона главных осей
TG= –.73994
Задача 9.1.1. Найти координаты центра тяжести и вычислить главные моменты инерции для составного сечения, показанного на рис. 2.1.11.
Решение. Для получения результатов используем приведенную программу для ЭВМ на алгоритмическом языке Фортран-IV. Ввод числовых данных для примеров в этой программе осуществляется от метки (5) до метки (8) включительно. Введем нумерацию прокатных профилей и обозначим швеллер № 20 – 3, двутавр № 20 – 2 и горизонтальную полосу – 1. Используя принятые в программе обозначения, осуществим ввод числовых данных (в программе запись осуществляем в один столбец):
5 N=3 FIX(2)=1840.
X(1)=10 FIY(2)=115.
Y(1)=0.5 FIXY(2)=0.
A(1)=20.*1. X(3)=10.
FIX(1)=20.*1.**3/12. Y(3)=19.45
FIY(1)=1.*20.**3/12. A(3)=23.4
FIXY(1)=0. FIX(3)=113.
X(2)=10. FIY(3)=1520.
Y(2)=11. 8 FIXY(3)=0.
A(2)=26.8
Координаты центров тяжести швеллера, двутавра и горизонтальной полосы записаны относительно случайных осей х (рис. 2.1.11) и у/. Ось у/ проходит на расстоянии 10 см от оси у влево.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ на печать: хс = 10 см;
ус = 10,83см; Iхс = 5828,34 см4; Iус = 2301,67 см4; Iхсус = 0;
Imax = 5828,34 см4; Imin = Iу = 2301,67 см4; tg2α = 0.
Задача 9.1.2. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, представленного на рис. 2.1.12. Найти положение главных осей инерции.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ: хс = 11,7 см; ус = 10,83 см;
Iхс = 3710,75 см4; Iус = 2065 см4; Iхсус = –382 см4; Imax = 3795 см4;
Imin = 1981 см4; tg2α = 0,4639.
Задачи 9.1.3–9.1.10. Применяя приведенную программу на языке Фортран-IV, проверить расчетом на ЭВМ ответы, данные для примеров 2.3.3–2.3.10.
Задача 9.1.11. Вычислить главные центральные моменты инерции поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.13. Найти положение главных осей инерции.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ: х = 7,74 см; ус = 6,76 см;
Iхс = 2241,75 см4; Iус = 545,46 см4; Iхсус = –480,95 см4;
Imax = 2368,63 см4; Imin = 418,58 см4; tg2α = 0,56706.
9.2. Построение эпюр прогибов упругой оси балки
В разделе 4.4 приводится дифференциальное уравнение изгиба упругой оси балки (4.4.1), интегрируя которое можно найти прогиб произвольного поперечного сечения балки. Удовлетворив граничным условиям, находят произвольные постоянные, в результате чего уравнение упругой оси балки можно записать в виде уi = уi(х), где i – число участков, на которые разбивается балка.
Построим эпюру прогибов балки,
которая рассматривается в задаче 4.4.1, рис. 4.4.2 (глава 4). Балка содержит три
участка 
, 
и 
. Для каждого участка балки получено уравнение изогнутой
оси балки (4.4.8).
Реализуем процесс построения эпюры прогибов упругой оси балки (рис. 4.4.2) и нахождения максимального прогиба в виде программы для ЭВМ на алгоритмическом языке Фортран-IV.
Для числового примера примем балку из двутавра № 20 (Iz = 1840 см4; Е = 2,1·106 кг/см2) с а = 1 м, l = 2 м, q = 200 кг/м. Общая длина однопролетной балки L = 4 м.
Ввод числовых данных
осуществляется способом «присвоения» с метки (5) до метки (8) включительно. От
метки (9) до метки (16) описывается первый участок (
), от метки (20) до метки (26) – второй (
), а от метки (30) до метки (36) –
третий (
).
В программе используются следующие идентификаторы:
| текст | а | l | L | x | y | q | E | Iz | C | D |
| программа | А | В | FL | X | Y | Q | FE | FI | C | D |
Машина будет выдавать на печать значения прогибов с шагом Δх = =20 см. Изменяя значения параметров AN, AL (см. программу) можно увеличить или уменьшить шаг счета Δх.
PROGRAM BEAM
5 A=100.
B=200.
FL=400.
Q=2.
FE=2.1E6
FI=1840.
G=FE*FI
C=Q*((FL–A)**4/(24.*FL)–B*FL*FL/12.-A**4/(24.*FL))/G
8 D=0.
9 AN=5.
X=–A/AN
12 X=X+A/AN
IF (X–A) 15, 15, 20
15 Y=Q*B*X**3/(12.*G)+C*X+D
WRITE (7, 50) X,Y
16 GO TO 12
20 AL=10.
X=A–B/AL
22 X=X+B/AL
IF (X–A–B) 25, 25, 30
25 Y=Q*(B*X**3/12. – (X–A)**4/24.)/G+C*X+D
WRITE (7,50) X,Y
26 GO TO 22
30 AN=5
X=A+B–A/AN
32 X=X+A/AN
IF (X-FL) 35, 35, 60
35 Y=Q*(B*X**3/12.– (X–A)**4/24.+(X–A–B)**4/24.)/G+C*X+D
WRITE (7, 50) X,Y
36 G0 TO 32
50 FORMAT (2HX=, F5.1, 3X, 2HY=, E12.4)
60 STOP
END
Результаты, выдаваемые ЭВМ на печать:
Х= .0 У= .0000Е+00
Х= 20.0 У= -.1891Е-01
Х= 40.0 У= -.3741Е-01
Х= 60.0 У= -.5507Е-01
Х= 80.0 У= -.7150Е-01
Х=100.0 У= -.8627Е-01
Х=100.0 У= -.8627Е-01
Х=120.0 У= -.9897Е-01
Х=140.0 У= -.1092Е+00
Х=160.0 У= -.1168Е+00
Х=180.0 У= -.1214Е+00
Х=200.0 У= -.1229Е+00 (ymax)
Х=220.0 У= -.1214Е+00
Х=240.0 У= -.1168Е+00
Х=260.0 У= -.1092Е+00
Х=280.0 У= -.9897Е-01
Х=300.0 У= -.8627Е-01
Х=300.0 У= -.8627Е-01
Х=320.0 У= -.7150Е-01
Х=340.0 У= -.5507Е-01
Х=360.0 У= -.3741Е-01
Х=380.0 У= -.1891Е-01
Х=400.0 У= -.1483Е-07
Задача 9.2.1. Построить эпюру прогибов консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m = 300 кг·м (рис. 4.4.6). Балка представляет собой двутавр № 10 (Iz = 198 см4; Е = 2,1·106 кг/см2) с l = 1 м.
Решение. Используем алгоритм, примененный для составления программы для ЭВМ, рассмотренной в качестве образца (PROGRAM BEAM). Для нашего примера эта программа будет иметь вид:
PROGRAM BEAM1 Построчные пояснения:
5 A=100. l = 100 см
FM=30000. m = 30000 кг·см
G=2.1E6*198. G = EIz
C=0. С – произвольная постоянная
8 D=0. D – произвольная постоянная
9 U=5. . разбиение 1-го участка на 5 участков
X=–A/U Δx = l/u – шаг вычислений
12 X=X+A/U xi = xi-1 + Δx
IF (X–A) 15, 15, 20
15 Y=(–FM*X*X/2.+C*X+D)/G y1=(-mx2/2+Cx+D)/(EIz) – прогиб на 1-м участке
WRITE (7, 50) X,Y
16 G0 TO 12
20 V=5. разбиение 2-го участка на 5 участков
X=A–A/V
22 X=A+A/V xi = xi-1+ Δx
IF (X–2*A) 25, 25, 60
25 Y=(–FM*X*X/2.+FM*(X–A)**2/2.+C*X+D)/G y2 = [–mx2/2+m(x–l)2/2+Cx+D]/(EIz)
WRITE (7, 50) X,Y
26 GO TO 22
50 FORMAT(2HX=, F5.1, 2HY=, E12.4)
60 STOP
END
Результаты, выдаваемые ЭВМ на печать:
X= .0 Y= .0000E+00 X=100.0 Y= -.3608E+00
X= 20.0 Y= -.1443E-01 X=120.0 Y= -.5051E+00
X= 40.0 Y= -.5772E-01 X=140.0 Y= -.6494E+00
X= 60.0 Y= -.1299E+00 X=160.0 Y= -.7937E+00
X= 80.0 Y= -.2309E+00 X=180.0 Y= -.9380E+00
X=100.0 Y= -.3608E+00 X=200.0 Y= -.1082E+01
В вышеприведенной программе применяются размерности: см, кг·см, кг/см2, см4.
Задача 9.2.2. Составить программу для ЭВМ и построить эпюру прогибов однопролетной балки, показанной на рис. 4.4.7. Принять, что m = =300 кг·м, Е = 2,1·106 кг/см2, l = 1 м Балка – из двутавра № 18.
У к а з а н и е. Уравнение упругой оси балки взять из задачи 4.4.6.
Задача 9.2.3. Составить программу для ЭВМ и построить эпюру прогибов консольной балки, изображенной на рис. 4.4.8. Принять q = 1 кН/м, а= 1 м, b = с = 2 м. Балка изготовлена из двутавра № 18. Уравнения изогнутой оси балки для каждого участка взять из ответа к примеру 4.4.7.
Задача 9.2.4. Составить программу для ЭВМ и построить эпюру прогибов однопролетной балки, показанной на рис. 4.1.17. Пусть F = 1 кН, l = =1м, балка изготовлена из двутавра № 20. Уравнения изогнутой оси балки для двух участков взять из ответа к примеру 4.4.8.
Задача 9.2.5. Построить эпюру прогибов консольной балки, нагруженной сосредоточенными силами F = 1 кН. Пусть l = 1 м (рис. 4.2.4). Балка круглого поперечного сечения с d = 20 см, Е = 0,1·105 МПа (сосна). Полученные результаты сравнить с ответом в задаче 4.4.10.
Задача 9.2.6. Построить эпюру прогибов стальной однопролетной балки из двутавра № 18, показанной на рис. 4.4.10. При составлении программы для ЭВМ использовать уравнения изогнутой оси балки, приведенные в ответе к задаче 4.4.12. Пусть l = 4 м, F = 1 кН. Имеется ли симметрия эпюры прогибов относительно оси, проходящей вертикально через сосредоточенную силу 2F?
Задача 9.2.7. Построить эпюры прогибов и углов поворота сечений стальной балки из двутавра № 20, показанной на рис. 4.4.11, где а = 1 м, b= 0,8 м; F = 1 кН. Результаты сравнить с ответом к задаче 4.4.13.
Задача 9.2.8. Имеется стальная балка из двутавра № 22, нагруженная сосредоточенной силой F = 30 кН (рис. 4.5.1). Удовлетворяет ли сортамент балки условию жесткости (4.5.1), если [1/n0] = 1/250? Материал балки – сталь С255.
У к а з а н и е. Предварительно необходимо построить эпюру прогибов и определить ymax.
Ответ: балка удовлетворяет условию жесткости (4.5.1).